Cómo encontrar la frontera eficiente, la línea de asignación de capital & Cartera óptima

Línea de asignación de capital (CAL) y cartera óptima

La Línea de Asignación de Capital (CAL) es una línea que representa gráficamente el perfil de riesgo y recompensa de los activos, y puede utilizarse para encontrar la cartera óptima. El proceso de construcción de la CAL para una colección de carteras se describe a continuación.

Rentabilidad y varianza esperada de la cartera

Para simplificar, construiremos una cartera con sólo dos activos de riesgo.

La cartera’La rentabilidad esperada de la empresa es una media ponderada de sus activos individuales’ es la rentabilidad esperada, y se calcula como

E(Rp) = w1E(R1) + w2E(R2)

Donde w1, w2 son las ponderaciones respectivas de los dos activos, y E(R1), E(R2) son los respectivos rendimientos esperados.

Los niveles de varianza se traducen directamente en niveles de riesgo; una mayor varianza significa mayores niveles de riesgo y viceversa. La varianza de una cartera no es sólo la media ponderada de la varianza de los activos individuales, sino que también depende de la covarianza y la correlación de los dos activos. La fórmula para la varianza de la cartera viene dada como

Var(Rp) = w21Var(R1) + w22Var(R2) + 2w1w2Cov(R1, R2)

Donde Cov(R1, R2) representa la covarianza de los dos rendimientos de los activos. Alternativamente, la fórmula puede escribirse como

σ2p = w21σ21 + w22σ22 + 2ρ(R1, R2) w1w2σ1σ2, utilizando ρ(R1, R2), la correlación de R1 y R2.

La conversión entre correlación y covarianza viene dada por ρ(R1, R2) = Cov(R1, R2)/ σ1σ2.

La varianza del rendimiento de la cartera es mayor cuando la covarianza de los dos activos es positiva, y menor cuando es negativa. Dado que la varianza representa el riesgo, el riesgo de la cartera es menor cuando sus componentes de activos poseen una covarianza negativa. La diversificación es una técnica que minimiza el riesgo de la cartera invirtiendo en activos con covarianza negativa.

En la práctica, no conocemos los rendimientos y las desviaciones típicas de los activos individuales, pero podemos estimar estos valores basándonos en estos activos’ valores históricos.

La frontera eficiente

La frontera de la cartera es un gráfico que representa todas las carteras posibles con diferentes combinaciones de pesos de los activos, con los niveles de desviación estándar de la cartera representados en el eje de las abscisas y la rentabilidad esperada de la cartera en el eje de las ordenadas.

Para construir una frontera de cartera, primero asignamos valores para E(R1), E(R2), stdev(R1), stdev(R2), y ρ(R1, R2). Utilizando las fórmulas anteriores, calculamos la rentabilidad esperada de la cartera y la varianza para cada una de las posibles combinaciones de pesos de los activos (w2=1-w1). Este proceso puede realizarse fácilmente en Microsoft Excel, como se muestra en el siguiente ejemplo:

A continuación, utilizamos el gráfico de dispersión con líneas suaves para trazar la cartera’s de rentabilidad esperada y desviación típica. El resultado se muestra en el siguiente gráfico, en el que cada punto representa una cartera construida con una combinación de pesos de activos.

¿Cómo podemos saber qué carteras son atractivas para los inversores?? Para responder a esto, introducimos el concepto de criterio de media-varianza, que establece que la cartera A domina a la cartera B si E(RA) ≥ E(RB) y σA ≤ σB (i.e. la cartera A ofrece una mayor rentabilidad esperada y un menor riesgo que la cartera B). Si este es el caso, los inversores preferirán A a B.

Del gráfico podemos deducir que las carteras que se encuentran en la parte descendente de la frontera de la cartera están dominadas por la parte ascendente. Así, los puntos de la parte ascendente de la frontera de la cartera representan carteras que los inversores consideran atractivas, mientras que los puntos de la parte descendente representan carteras ineficientes.

De acuerdo con el criterio de la media-varianza, cualquier inversor seleccionaría de forma óptima una cartera en la parte de la frontera de la cartera con pendiente ascendente, que se denomina frontera eficiente, o frontera de varianza mínima. La elección de cualquier cartera en la frontera eficiente depende del inversor’s preferencias de riesgo.

Una cartera por encima de la frontera eficiente es imposible, mientras que una cartera por debajo de la frontera eficiente es ineficiente.

Cartera completa y línea de asignación de capital

Al construir carteras, los inversores suelen combinar activos de riesgo con activos sin riesgo (como los bonos del Estado) para reducir los riesgos. Una cartera completa se define como una combinación de una cartera de activos de riesgo, con rentabilidad Rp, y del activo libre de riesgo, con la rentabilidad Rf.

La rentabilidad esperada de una cartera completa viene dada por

E(Rc) = wpE(Rp) + (1 − wp)Rf

Y la varianza y la desviación estándar de la rentabilidad de la cartera completa viene dada por

Var(Rc) = w2pVar(Rp), σ(Rc) = wpσ(Rp),

donde wp es la fracción invertida en la cartera de activos de riesgo.

Mientras que el exceso de rendimiento esperado de una cartera completa se calcula como

E(Rc) – Rf,

si sustituimos E(Rc) con la fórmula anterior, obtenemos wp(E(Rp) − Rf).

La desviación típica de la cartera completa es σ(Rc) = wpσ(Rp), que nos da:

wp = σ(Rc)/σ(Rp)

Por lo tanto, para cada cartera completa

O E(Rc) = Rf + Spσ(Rc), donde Sp =

La línea E(Rc) = Rf + Spσ(Rc) es la línea de asignación de capital (CAL). La pendiente de la línea, Sp, se denomina Ratio de SharpeRatio de SharpeEl Ratio de Sharpe es una medida de rentabilidad ajustada al riesgo, que compara el exceso de rentabilidad de una inversión con su desviación estándar de rentabilidad. El ratio de Sharpe se utiliza habitualmente para medir el rendimiento de una inversión ajustando su riesgo., o la relación entre la recompensa y el riesgo. El ratio de Sharpe mide el aumento de la rentabilidad esperada por unidad de desviación estándar adicional.

Cartera óptima

La cartera óptima está formada por un activo sin riesgo y una cartera óptima de activos de riesgo. La cartera óptima de activos de riesgo se encuentra en el punto en que la CAL es tangente a la frontera eficiente. Esta cartera es óptima porque la pendiente de CAL es la más alta, lo que significa que conseguimos la mayor rentabilidad por unidad adicional de riesgo. El gráfico siguiente lo ilustra:

Las ponderaciones tangentes de la cartera se calculan como sigue:

Resumen de la línea de asignación de capital

Los inversores utilizan tanto la frontera eficiente como la CAL para conseguir diferentes combinaciones de riesgo y rentabilidad en función de lo que deseen. La cartera de riesgo óptima se encuentra en el punto en el que la CAL es tangente a la frontera eficiente. Esta combinación de ponderaciones de activos ofrece la mejor relación riesgo-recompensa, ya que tiene la mayor pendiente para CAL.

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Recursos adicionales

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