Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial es una distribución de probabilidad común que modela la probabilidadRegla de la probabilidad totalLa regla de la probabilidad total (también conocida como ley de la probabilidad total) es una regla fundamental en estadística relativa a la probabilidad condicional y marginal de obtener uno de dos resultados bajo un número dado de parámetros. Resume el número de ensayos cuando cada ensayo tiene la misma probabilidad de obtener un resultado específico. El valor de un binomio se obtiene multiplicando el número de ensayos independientes por los aciertos.
Por ejemplo, al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener una cara es de 0.5. Si hay 50 ensayos, el valor esperadoValor esperadoEl valor esperado (también conocido como EV, expectativa, media o valor medio) es un valor medio a largo plazo de las variables aleatorias. El valor esperado también indica del número de cabezas es 25 (50 x 0.5). La distribución binomial se utiliza en estadística como bloque de construcción para variables dicotómicas como la probabilidad de que el candidato A o B salga en la posición 1 en los exámenes parciales.
Criterios de la distribución binomial
La distribución binomial modela la probabilidad de ocurrencia de un evento cuando se cumplen criterios específicos. La distribución binomial implica las siguientes reglas que deben estar presentes en el proceso para poder utilizar la fórmula de la probabilidad binomial:
1. Pruebas fijas
El proceso investigado debe tener un número fijo de ensayos que no puede ser alterado en el curso del análisis. Durante el análisis, cada ensayo debe realizarse de manera uniforme, aunque cada ensayo puede dar un resultado diferente.
En la fórmula de la probabilidad binomial, el número de ensayos se representa con la letra “n.” Un ejemplo de prueba fija puede ser el lanzamiento de una moneda, tiros libres, giros de la rueda, etc. El número de veces que se realiza cada ensayo se conoce desde el principio. Si una moneda se lanza 10 veces, cada lanzamiento de la moneda es un ensayo.
2. Ensayos independientes
La otra condición de una probabilidad binomial es que los ensayos sean independientes entre sí. En términos sencillos, el resultado de un ensayo no debería afectar al resultado de los ensayos posteriores.
Cuando se utilizan determinados métodos de muestreo, existe la posibilidad de que los ensayos no sean completamente independientes entre sí, y la distribución binomial sólo puede utilizarse cuando el tamaño de la población es grande con respecto al tamaño de la muestra.
Un ejemplo de ensayos independientes puede ser lanzar una moneda o un dado. Al lanzar una moneda, el primer suceso es independiente de los siguientes.
3. Probabilidad fija de éxito
En una distribución binomial, la probabilidad de obtener un éxito debe ser la misma para los ensayos que estamos investigando. Por ejemplo, al lanzar una moneda, la probabilidad de lanzarla es ½ o 0.5 para cada ensayo que realicemos, ya que sólo hay dos resultados posibles.
En algunas técnicas de muestreo, como el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de éxito de cada ensayo puede variar de un ensayo a otro. Por ejemplo, supongamos que hay 50 chicos en una población de 1.000 estudiantes. La probabilidad de elegir un niño de esa población es 0.05.
En la siguiente prueba, habrá 49 chicos de 999 estudiantes. La probabilidad de elegir un chico en el siguiente ensayo es 0.049. Muestra que en los ensayos posteriores, la probabilidad de un ensayo a otro variará ligeramente con respecto al ensayo anterior.
4. Dos resultados mutuamente excluyentes
En la probabilidad binomial, sólo hay dos resultados mutuamente excluyentesEventos mutuamente excluyentesEn estadística y teoría de la probabilidad, dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. El ejemplo más sencillo de exclusión mutua, i.e., éxito o fracaso. Aunque éxito es un término generalmente positivo, puede utilizarse para significar que el resultado del ensayo coincide con lo que se ha definido como éxito, ya sea un resultado positivo o negativo.
Por ejemplo, cuando una empresa recibe una consignaciónVentas en consignaciónLas ventas en consignación son un acuerdo comercial en el que una parte (el consignador) proporciona bienes a otra parte (el consignatario) para que los venda. Sin embargo, el destinatario de las lámparas con muchas roturas, la empresa puede definir el éxito del ensayo como cada lámpara que tiene el cristal roto. Se puede definir un fallo cuando las lámparas tienen cero vasos rotos.
En nuestro ejemplo, los casos de lámparas rotas pueden utilizarse para denotar el éxito como forma de mostrar que una alta proporción de las lámparas de la partida está rota. y que existe una baja probabilidad de obtener una partida de lámparas con cero roturas.
Ejemplo de distribución binomial
Supongamos que, según los últimos informes policiales, el 80% de los delitos menores no se resuelven, y que en su ciudad se cometen al menos tres de estos delitos menores. Los tres delitos son independientes entre sí. A partir de los datos dados, cuál es la probabilidad de que se resuelva uno de los tres delitos?
Solución
El primer paso para encontrar la probabilidad binomial es verificar que la situación satisface las cuatro reglas de la distribución binomial:
Siguiente:
Encontramos la probabilidad de que uno de los crímenes se resuelva en los tres juicios independientes. Se muestra como sigue:
Prueba 1 = Resuelto 1º, sin resolver 2º y sin resolver 3º
= 0.2 x 0. 8 x 0.8
= 0.128
Prueba 2 = 1ro. sin resolver, 2do. resuelto y 3ro. sin resolver
= 0.8 x 0.2 x 0.8
= 0.128
Prueba 3 = 1º no resuelto, 2º no resuelto y 3º resuelto
= 0.8 x 0.8 x 0.2
= 0.128
Total (para los tres ensayos):
= 0.128 + 0.128 + 0.128
= 0.384
Alternativamente, podemos aplicar la información de la fórmula de la probabilidad binomial, como sigue
Donde:
En la ecuación, x = 1 y n = 3. La ecuación da una probabilidad de 0.384.
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