Qué es el Teorema Central del Límite (TLC)?
El teorema del límite central (CLT) es un concepto estadístico que establece que la distribución de la media muestral de una variable aleatoria asumirá una distribución casi normal o normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. En términos sencillos, el teorema afirma que la distribución muestral de la media es un concepto esencial en matemáticas y estadística. En general, la media se refiere al promedio o al valor más común de una colección de se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma de la distribución original de la población.
A medida que el usuario aumenta el número de muestras a 30, 40, 50, etc., la gráfica de las medias muestrales se moverá hacia una distribución normal. El tamaño de la muestra debe ser igual o superior a 30 para que se cumpla el teorema del límite central.
Uno de los componentes más importantes del teorema es que la media de la muestra será la media de toda la población. Si se calcula la media de varias muestras de la población, se suman y se halla su media, el resultado será la estimación de la media de la población.
Lo mismo ocurre cuando se utiliza la desviación estándarDesviación estándarDesde el punto de vista estadístico, la desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de la magnitud de las desviaciones entre los valores de las observaciones contenidas. Si se calcula la desviación típica de todas las muestras de la población, se suman y se halla la media, el resultado será la desviación típica de toda la población.
Cómo funciona el teorema del límite central?
El teorema del límite central constituye la base de la distribución de la probabilidad. Facilita la comprensión de cómo se comportan las estimaciones de la población cuando se someten a un muestreo repetidoError de tipo IIEn las pruebas de hipótesis estadísticas, un error de tipo II es una situación en la que una prueba de hipótesis no rechaza la hipótesis nula que es falsa. Por otra parte. Cuando se representa en un gráfico, el teorema muestra la forma de la distribución formada por medio de muestras poblacionales repetidas.
A medida que aumenta el tamaño de las muestras, la distribución de las medias de las muestras repetidas tiende a normalizarse y a parecerse a una distribución normal. El resultado sigue siendo el mismo independientemente de la forma original de la distribución. Se puede ilustrar en la figura siguiente:
De la figura anterior podemos deducir que, a pesar de que la forma original de la distribución era uniforme, tiende a una distribución normal a medida que aumenta el valor de n (tamaño de la muestra).
Además de mostrar la forma que adoptarán las medias muestrales, el teorema del límite central también ofrece una visión general de la media y la varianza de la distribución. La media muestral de la distribución es la media real de la población de la que se tomaron las muestras.
La varianza de la distribución de la muestra, por otro lado, es la varianza de la población dividida por n. Por tanto, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra de la distribución, menor será la varianza de la media muestral.
Ejemplo de teorema del límite central
Un inversor está interesado en estimar la rentabilidad del índice bursátil ABC que está compuesto por 100.000 valores. Debido al gran tamaño del índice Promedio Industrial Dow Jones (DJIA)El Promedio Industrial Dow Jones (DJIA), también denominado «Dow Jones” o «el Dow», es uno de los índices bursátiles más reconocidos., el inversor no puede analizar cada acción de forma independiente y, en su lugar, opta por utilizar un muestreo aleatorio para obtener una estimación de la rentabilidad global del índice.
El inversor elige muestras aleatorias de los valores, y cada muestra comprende al menos 30 valores. Las muestras deben ser aleatorias, y cualquier muestra seleccionada previamente debe ser sustituida en las muestras posteriores para evitar el sesgo.
Si la primera muestra produce un rendimiento medio del 7.5%, la siguiente muestra puede producir un rendimiento medio del 7.8%. Con la naturaleza del muestreo aleatorio, cada muestra producirá un resultado diferente. A medida que se aumenta el tamaño de la muestra con cada muestra que se recoge, las medias de las muestras empezarán a formar sus propias distribuciones.
La distribución de las medias muestrales se acercará a la normalidad a medida que aumente el valor de n. La rentabilidad media de los valores del índice de muestra estima la rentabilidad de todo el índice de 100.000 valores, y la rentabilidad media se distribuye normalmente.
Historia del teorema del límite central
La versión inicial del teorema del límite central fue acuñada por Abraham De Moivre, un matemático de origen francés. En un artículo publicado en 1733, De Moivre utilizó la distribución normal para hallar el número de caras resultantes de múltiples lanzamientos de una moneda. El concepto fue impopular en su momento y se olvidó rápidamente.
Sin embargo, en 1812, el concepto fue reintroducido por Pierre-Simon Laplace, otro famoso matemático francés. Laplace reintrodujo el concepto de distribución normal en su obra titulada “Eléorie Analytique des Probabilités,” donde intentó aproximar la distribución binomial con la distribución normal.
El matemático descubrió que la media de las variables aleatorias independientes, cuando aumenta su número, tiende a seguir una distribución normal. En ese momento, Laplace’Los descubrimientos del teorema del límite central atrajeron la atención de otros teóricos y académicos.
Más tarde, en 1901, el teorema del límite central fue ampliado por Aleksandr Lyapunov, un matemático ruso. Lyapunov dio un paso adelante para definir el concepto en términos generales y demostrar cómo funcionaba matemáticamente. Las funciones características que utilizó para elaborar el teorema se adoptaron en la teoría moderna de la probabilidad.
Lecturas relacionadas
Gracias por leer nuestro sitio web’s guide to Central Limit Theorem. Para seguir aprendiendo y avanzar en su carrera, los recursos adicionales de nuestro sitio web que aparecen a continuación le serán de utilidad: